Deret aritmetika merupakan konsep penting dalam matematika yang melibatkan penjumlahan n suku pertama dari suatu barisan aritmetika. Barisan aritmetika ini adalah urutan angka yang memiliki selisih tetap antara setiap dua angka berturut-turutnya.
Pemahaman terhadap topik ini seringkali menjadi tantangan bagi sebagian besar siswa. Hal ini disebabkan oleh kompleksitas soal yang sering kali melibatkan operasi-operasi matematika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian dalam deretan angka yang disajikan.
Oleh karena itu, pemahaman yang mendalam terhadap konsep ini menjadi kunci utama dalam menaklukkan materi tersebut.
Pengertian dan Rumus Deret Aritmetika
Menurut referensi yang diambil dari buku Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan Manajemen yang diterbitkan oleh Grasindo, konsep deret aritmetika merujuk pada total keseluruhan dari suku-suku yang terdapat dalam suatu barisan matematika.
Deret ini secara konseptual dapat dijabarkan dengan menambahkan bersama-sama suku-suku yang membentuk barisan aritmetika. Untuk merepresentasikan jumlah keseluruhan dari n suku pertama dalam suatu barisan aritmetika, terdapat notasi khusus yang dikenal sebagai Sn.
Ketika suku-suku dalam barisan aritmetika meningkat secara berturut-turut, fenomena tersebut menghasilkan apa yang dikenal sebagai deret naik. Sebaliknya, ketika suku-suku dalam barisan aritmetika menurun secara berturut-turut, hasilnya adalah deret turun.
Dari uraian di atas, dapat diperoleh rumus umum untuk menghitung deret aritmetika sesuai dengan konteksnya.
Rumus deret aritmetika:
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
Keterangan:
- Sn = Deret aritmetika
- a = Suku pertama
- n = Jumlah suku
- b = Beda
Contoh Soal Deret Aritmetika
Terdapat sejumlah permasalahan menarik dalam ranah Matematika yang dapat dipecahkan dengan memanfaatkan konsep deret ini. Contoh-contoh permasalahan ini meliputi beragam situasi yang memanfaatkan rumus-rumus yang terkait dengan deret aritmetika.
Mari kita eksplorasi beberapa contoh permasalahan dan solusinya yang mengilustrasikan penerapan konsep deret aritmetika secara lebih mendalam.
1. Jumlah 30 Suku Pertama
Carilah jumlah 30 suku yang pertama dari deret 4 + 6 + 8 + 10 + …
Jawab:
- a1 = 4 (suku pertama)
- an = ? (suku ke-30)
- n = 30.
Untuk menemukan an, kita perlu mengidentifikasi pola penambahan dalam deret ini. Kita bisa melihat bahwa penambahan antara suku-suku berturut-turut adalah 2.
Oleh karena itu, kita bisa menentukan suku ke-30 dengan rumus: an = a1 + (n – 1) x d di mana d adalah beda antar suku, yaitu 2 dalam kasus ini.
an = 4 + (30 – 1) x 2
an = 4 + 29 x 2
an = 4 + 58
an = 62
Kemudian, kita bisa gunakan rumus untuk mencari jumlah 30 suku pertama:
Rumus Sn = (n/2) x (a1 + an)
Sn = (30/2) x (4 + 62)
Sn = 15 x 66
Sn = 990
Jadi, jumlah 30 suku pertama dari deret tersebut adalah 990.
2. Jumlah N Suku Pertama
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 3n² + 2n. Berapakah suku ke-8 dari deret aritmetika?
Jawab:
Untuk mencari suku ke-8 dari deret aritmetika, kita perlu menggunakan rumus umum yang diberikan. Dalam rumus tersebut, kita harus mengganti nilai n dengan 8.
Jadi, kita dapat menghitung suku ke-8 dengan rumus tersebut:
a8 = 3(8)² + 2(8)
= 3(64) + 16
= 192 + 16
= 208
Jadi, suku ke-8 dari deret aritmetika adalah 208.
3. Menghitung Kenaikan Gaji
Olivia bekerja sebagai karyawan di rumah sakit dengan masa kerja 30 tahun dengan gaji awal Rp2.500.000. Setiap tahun Olivia mendapatkan kenaikan gaji secara berkala sebesar Rp500.000. Berapa total seluruh gaji yang diterima oleh Olivia hingga kontrak kerjanya selesai?
Jawab:
- Gaji awal Olivia adalah Rp2.500.000 (a1)
- Setiap tahun Olivia mendapatkan kenaikan gaji sebesar Rp500.000 (d)
- Masa kerja Olivia adalah 30 tahun (n)
Mari kita hitung total gaji Olivia hingga kontrak kerjanya selesai.
a30 = a1 + (n – 1) x d
a30 = 2.500.000 + (30 – 1) x 500.000
a30 = 2.500.000 + 29 x 500.000
a30 = 2.500.000 + 14.500.000
a30 = Rp17.000.000
Sekarang, kita bisa menggunakan rumus untuk mencari total gaji Olivia:
Sn = (n/2) x (a1 + an)
Sn = (30/2) x (2.500.000 + 17.000.000)
Sn = 15 x 19.500.000
Sn = Rp292.500.000
Jadi, total seluruh gaji yang diterima oleh Olivia hingga kontrak kerjanya selesai adalah Rp292.500.000.
Itulah deret aritmetika dalam ranah pembelajaran Matematika. Materi ini secara konsisten menjadi fokus penting dalam kurikulum, memberikan landasan penting bagi pemahaman tentang pola angka dan hubungan matematis yang teratur.
Dengan memahami deret aritmetika, siswa dapat mengembangkan keterampilan analisis yang mendalam serta kemampuan untuk meramalkan dan memodelkan berbagai situasi dalam konteks matematika maupun dunia nyata.
Baca juga artikel deret geometri jika kamu tertarik.
Dapatkan berita terbaru! Ikuti kami di Google News dan dapatkan kabar terupdate langsung di genggaman.