Rumus Pythagoras: Sejarah, Bunyi, Dalil, Contoh Soal

Theorema rumus Pythagoras

Dalam ilmu matematika, rumus Pythagoras adalah rumus yang paling dikenal dan sangat berguna. Rumus ini dinamai menurut nama seorang filsuf Yunani Ionia kuno yaitu Pythagoras dari Samos (c. 570 SM – c. 495 SM).

Fakta yang ada dalam rumus ini telah diketahui sebelum lahirnya Pythagoras. Meski begitu, Pythagoras adalah orang pertama yang membuktikannya dengan metode matematis.

Teorema ini telah dibuktikan berkali-kali dengan berbagai metode, mungkin merupakan teorema matematika yang paling banyak dibuktikan. Buktinya beragam, termasuk bukti geometris dan bukti aljabar, beberapa telah berusia ribuan tahun.

Ide utama rumus Pythagoras adalah mengungkap panjang dan hubungan antara sisi-sisi pada sebuah segitiga siku-siku. Jika diketahui dua buah sisi, (a) dan (b), maka jarak terpendek antara kedua sisi dapat ditemukan dengan menghitung hipotenusa atau sisi miring (c).

Oleh sebab itu, penemuan rumus Phytagoras penting bagi ilmu matematika terutama geometri. Rumus umum Pythagoras adalah a2 + b2 = c2.

Sejarah Teorema Pythagoras

Ada perdebatan apakah teorema Pythagoras ditemukan sekali, atau berkali-kali di banyak tempat (mulai dari Mesopotamia, India, hingga China), dan tanggal penemuan pertama tidak pasti, maksudnya tanggal pembuktian pertama.

Sejarawan matematika Mesopotamia menyimpulkan bahwa teorema Pythagoras telah digunakan secara luas sejak periode Babilonia Kuno (abad ke-20 SM hingga ke-16 SM), lebih dari seribu tahun sebelum Pythagoras dilahirkan.

Sejarah teorema Phytagoras dapat dibagi menjadi empat bagian, yakni:

  1. Pengetahuan tentang tripel Pythagoras
  2. Pemahaman tentang hubungan antar sisi segitiga siku-siku
  3. Pengetahuan tentang hubungan antara sudut yang berdekatan
  4. Bukti teorema dalam beberapa sistem deduktif

Ditulis antara tahun 2000 dan 1786 SM, Papirus Berlin 6619 dari Kerajaan Mesir Pertengahan mencakup masalah yang solusinya adalah tripel Pythagoras 6:8:10, tetapi masalahnya tidak menyebutkan segitiga.

Tablet Plimpton 322 dari Mesopotamia, ditulis antara tahun 1790 SM dan 1750 SM pada masa pemerintahan Hammurabi Agung, berisi banyak entri yang terkait erat dengan triple Pythagoras.

Di India, Baudhayana Shulba Sutra, yang tertanggal antara abad ke-8 SM dan ke-5 SM, berisi daftar triple Pythagoras dan pernyataan teorema Pythagoras. Keduanya dalam kasus khusus segitiga sama kaki kanan dan dalam kasus umum, seperti halnya Apastamba Shulba Sutra (c. 600 SM).

Van der Waerden percaya bahwa materi ini “tentu didasarkan pada tradisi-tradisi sebelumnya”. Carl Boyer menyatakan bahwa teorema Pythagoras dalam Śulba-sũtram mungkin telah dipengaruhi oleh matematikawan Mesopotamia kuno, tetapi tidak ada bukti konklusif yang mendukung atau menentang hal itu.

Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras menjabarkan hubungan antara sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Banyak permasalahan sehari-hari berkaitan dengan segitiga siku-siku maupun sudut siku-siku, misalnya:

  • Menentukan sisi miring dari sisi miring suatu kuda-kuda rumah
  • Membuat sudut lapangan bola volly agar betul-betul siku-siku

Bunyi Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras berbunyi pada suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya.

Secara umum, apabila segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dinyatakan menjadi AC² + BC² = AB². Banyak buku menuliskan rumus teorema ini menjadi a² + b² = c² dengan c adalah sisi miring.

Rumus Pythagoras

Rumus Pythagoras didefinisikan dengan AC² + BC² = AB² atau a² + b² = c². Itu dapat diinterpretasikan sebagai segitiga siku-siku ABC dengan sisi alas (AC), sisi tegak (BC), dan hipotenusa atau sisi miring (AB).

Pada rumus Pythagoras berlaku panjang hipotenusa atau sisi miring (AB) dikuadratkan sama dengan penjumlahan kuadrat sisi alas (AC) dan sisi tegak (BC). Untuk lebih jelasnya, lihat ilustrasi segitiga berikut ini.

Theorema Pitagoras dalil segitiga siku-siku

Contoh Soal Teorema Pythagoras

  1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang alas 3 cm dan tinggi 4 cm. Berapakah panjang sisi miring segitiga tersebut?

Gunakan teorema Pythagoras untuk menghitung sisi miring tersebut.

Jawab:

a² + b² = c² x 1 cm
3² + 4² = c² x 1 cm
9 + 16 = c² x 1 cm
√25 = c x 1 cm
c = 5 cm

Jadi, panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm.

  1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku memiliki tinggi 9 cm dan sisi miring sepanjang 15 cm. Berapakah panjang alas segitiga tersebut?

Gunakan dalil teorema Pythagoras untuk menghitung sisi miring tersebut.

Jawab:

a² + b² = c² x 1 cm
a² + 9² = 15² x 1 cm
a² + 81 = 225 x 1 cm
√225-81 = a x 1 cm
a = √144 x 1 cm
a = 12 cm

Jadi, panjang alas segitiga siku-siku tersebut adalah 12 cm.

  1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 10 cm dan tinggi 6 cm. Berapakah tinggi segitiga tersebut?

Gunakan dalil teorema Pythagoras untuk menghitung sisi miring tersebut.

Jawab:

a² + b² = c² x 1 cm
6² + b² = 10² x 1 cm
36 + b² = 100 x 1 cm
√100-36 = b x 1 cm
b = √64 x 1 cm
b = 8 cm

Jadi, tinggi segitiga siku-siku tersebut adalah 8 cm.

Penerapan rumus Pythagoras dan cara menghitungnya bisa kamu lihat pada contoh soal 1 di atas. Salah satu syarat yang harus dipenuhi adalah segitiga tersebut harus memiliki sudut 90 derajat dan berhadapan dengan salah satu sisi terpanjang dari segitiga siku siku.

Selain itu, Pythagoras juga bisa digunakan untuk menghitung luas persegi panjang maupun bangun datar serta bangun ruang lainnya.